一元二次方程实数根怎么求

一元二次方程实数根怎么求

一元二次方程是数学中常见的一种方程形式，它的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知实数，且a不等于0。在解一元二次方程时，我们通常需要求出其中的实数根。

1. 实数根的判别式

我们可以通过求解一元二次方程的判别式来判断该方程的实数根的情况。判别式的公式为△ = b^2 4ac

（a、b、c分别代表方程ax^2 + bx + c = 0中的系数）。

2. 实数根的情况分析

根据判别式的值，我们可以得到以下

(1) 当判别式△ > 0时，方程有两个不相等的实数根。

(2) 当判别式△ = 0时，方程有两个相等的实数根。

(3) 当判别式△ < 0时，方程没有实数根。

需要注意的是，只有当判别式△ ≥ 0时，方程才有实数根。

3. 求根的具体步骤

在解一元二次方程时，我们可以按照以下步骤进行：

(1) 将一元二次方程化简为一般形式，即ax^2 + bx + c = 0（其中a ≠ 0）。

(2) 求解判别式△ = b^2 4ac 的值。

(3) 根据判别式△ 的值判断方程的根的情况。

(4) 如果方程有实数根，可以利用求根公式x = (-b ± √△) / (2a) 来求解具体的根。

4. 例题解析

让我们通过以下例题来进一步理解一元二次方程实数根的求解方法。

例题1：

已知一元二次方程x^2 4x + k = 0有两个不相等的实数根。求k的取值范围。

解：

根据实数根的判别式，我们有△ = b^2 4ac = (-4)^2 4(1)(k) = 16 4k。

根据题意，方程有两个不相等的实数根，即 △ > 0。

所以，16 4k > 0，解得 k < 4。

k的取值范围为 k < 4。

例题2：

已知一元二次方程x^2 + 2x + k 2 = 0有两个不相等的实数根。

(1) 求k的取值范围。

(2) 当k为正整数且方程的根都是整数时，求k的值。

解：

(1) 通过实数根的判别式，我们有 △ = b^2 4ac = 2^2 4(1)(k-2) = 4 4k + 8 = 12 4k。

题目中已知方程有两个不相等的实数根，即 △ > 0。

所以，12 4k > 0，解得 k < 3。

k的取值范围为 k < 3。

(2) 当k为正整数且方程的根都是整数时。

根据方程的根都是整数的条件，我们可以先假设方程的根为m，那么方程的另一个因式为x m。

所以，方程可转化为(x m)(x m) = x^2 2mx + m^2 = x^2 + 2x + k 2。

由此可得，-2mx = 2x，即m = -1。

将m = -1带入方程x^2 2mx + m^2 = x^2 + 2x + k 2，可以得到k = 1。

所以，当k为正整数且方程的根都是整数时，k的值为1。

通过以上例题，我们可以看到一元二次方程实数根的求解方法。

一元二次方程实数根的求解可以通过判定判别式△的值来进行。根据判别式的大小，我们可以得出方程的实数根的情况。如果方程有实数根，我们可以利用求根公式来具体求解根的值。