数学中的指数指的是什么(数学里的指数是什么意思，举个例子说明一下啊)

数学里的指数是什么意思，举个例子说明一下啊

指数指的是多少次幂。指数不好打字，暂时无法举例给你。你可以去查一下书，很容易理解的。

数学中指数***是指什么

指数***的概念即指数函数的***性增长。指数的概念在乘方a中，其中的a叫做底数，n叫做指数，结果叫幂。随着单位长度的递增，整体会呈***性增长。例如：一张纸对折一次，厚度变成原来的2倍。再对折第二次，变为原来的2的2...

指数对数互化公式重要题型汇总及解析，高中数学，高考数学复习

指数对数互化公式重要题型汇总及解析，高中数学，高考数学复习。

指数对数互化是指指数形式的等式和对数形式的等式之间的互相转换，公式为：a^n＝b↔n＝log_a(b)，这是咱们学习对数运算遇到的第一个公式，它最常用于指数或对数方程中的化简计算。

01、要求的式子中的对数底数都是3，已知中的指数等式的底数也是3，所以考虑把指数等式化为3为底的对数形式，如下解析中的第一行，接下来要做的就是对对数式子进行变形，使之出现以3为底，2为真数的对数，然后代值即可。

02、解这种对数嵌套形式的方程，就像咱们熟知的去括号一样，不同的是，对数嵌套方程是借助对数化指数公式先去掉外层的对数符号，如此一遍一遍进行下去，直到求出真数x为止。这类题的解题规律一旦掌握了，看起来很复杂的方程很快就可以解出来，相当有成就感。

03、这是一道典型的对数和整式混合方程，把对数项留在等号的左边，把整式项移到等号的右边，就可以变形得到一个标准的对数等式，见解析第二行，然后就可以使用对数化指数公式去掉对数符号，没有了对数符号，解起来就容易多了。

04、幂的指数部分是一个对数，这样的代数式太复杂，所以要先使用指数化对数公式化简之，只要你想到了这一点，之后的计算对你来说不会再有问题。

05、本题和前面最大的不同是对数的底数是一个含有未知数的代数式，所以求出x的值后要检验，要使底数大于0且不等于1，且真数大于0。

06、两种方法都挺好。高一、高二、高三、基础、提高、高考复习、真题讲解，专题解析；孙老师数学，全力辅助你成为数学解题高手。加油！

高一、高二、高三、基础、提高、高考复习、真题讲解，专题解析；孙老师数学，全力辅助你成为数学解题高手。加油！

指数函数与e——更好的解释(数学篇)06

推荐另一篇相关文章《自然常数e的故事》

e经常让我感到困惑——不是指这个个字母，而是指这个数学常量。它是个什么东西呢？

数学书甚至是我深爱的维基百科都是用一种死板的专业术语来描述e：

数学常量e是自然对数的底。

当你去查询自然对数时，你会看到如下的解释：

自然对数，正式的名称叫作双曲线对数，是e的对数，而e是一个无理数，其值大约等于2.71828182 8459。

很漂亮的循环引用。这就像辞典用拜占庭式的风格来定义迷宫一样的风格一样：正确但是并没有什么帮助。我们的常用词汇有什么问题呢？比如说“复杂的”。

我不是在挑维基百科的错——为了追求它们的“严格”，许多数学解释都是很乏味并且正式的，但是这并不能帮助初学者去能理解这些话题（我们都是或者曾是个初学者嘛）。

不要再这样了！今天我就跟你们分享一下我关于e的直观化的、更高层次的解释，看看它是怎么震撼你之前的认识的。以后再看你数学课本上的“严格”解释吧!

描述e就是“一个常数，它的值等于2.71828……”就像是说π是“一个无理数，它大概等于3.1415……”。是的，这样说没错，但是你完全忽略了其中的意义。

Pi是所有圆的圆周与长其直径的比。它是所有圆都具有的一个基础性的比，因此它也广泛适用于圆周长的计算，面积，体积还有圆球的表面积，球体，圆柱体等等。Pi很重要，不只是与所有的圆有关，还有从中衍生出来的三角函数（Sin，Cos，Tan等）。

e是所有连续增长过程中所共有的基本增长量。e让你在一个简单的增长率中（这种增长每年底结算一次）发现连续的、复合计算的、在每分每秒甚至更短的间隔内一直增长的巨大影响，即使时每时每刻只增长一点。

e出现在任何连续的进行指数增长的系统中：人口，放射性衰变，利息计算以及其他系统中。即使是在不连续的增长系统中也可以近似使用e来表示。

正如所有数字都可以看作是1（基本单位）的“倍数”那样，所有圆也可以看作是一个单位圆（半径为1）的“倍数”，所有的怎张都可以看作是e（一单位的增长率）的“倍数”。

所以e不是一个模糊不清的数字。e代表了所有连续增长的系统共有的一个增长率。

让我们先来看一个经过一段时间后正好翻倍的基本系统。举例如下，

细菌可以进行分裂，而且每24小时就可以翻一倍。

我们每次把面条对半一份就可以得到翻倍的面条

如果你的钱可以收入100%的回报那么它们每年就可以翻一倍（很幸运啊！）

它们看起来就像是：

分成两份或者是翻倍是一个很常见的过程。没错，我们可以翻两倍或者是翻三倍，但是翻倍处理起来舒服些，我们先处理这个。

数学上，如果我们让x分裂，那么我们最后会得到2x个多的“东西”。1分裂后我们可以得到21或2倍多的东西。4分裂我们可以得到24＝16倍的东西。写成方程式如下所示：

增长＝2x

换言之，就是100%的增长率，我们可以把方程式写成如下的形式：

增长＝(1+100%)x

它们是完全等价的方程式，但是我们把“2”分开到底是什么呢：原始的数值（1）再加上100%。很聪明吧？

当然，我们可以用其他数值（50%，25%，200%）来代替100%，那样我们就得到了新的增长率公式。所以更一般的方程式可以写成：

增长=(1+增加的部分)x

这就是说我们把（1+增长的部分）自乘了x次。

我们的公式假设我们的增长发生在一定的间隔之后。细菌在等待，等待，然后就激增，它们在最后一分钟翻倍了。我们的利息就在一年的时候突然就有了。根据以上的公式，增长是间断的，然后瞬间就增长了。那些绿的点突然就冒出来了。

但是真实的世界并不是这样的。如果我们放大查看的话，我们就会发现我们的细菌朋友每时每刻都在增长：

绿色先生并不是突然出现的：他从蓝色先生中慢慢成长起来，经过一单位时间后（在这个例子中是24小时），绿色先生完全长大了，它成了一个完整的蓝色先生，然后它又接着生出了它自己的绿色细胞。

这个细节改变了我们的方程式了吗？

没有。在细菌的例子中，处于一半形态的细菌还什么都不能做，直到它们完全长大，并且脱离了它们的父母。方程式仍然适用。

但是对于钱来说就不一样了。我们可以马上赚到5毛钱的利润（译者在这里做了***搞修改，放心，这不会影响讨论^_^），这个5毛可以产生自己的5毛。我们不需要等到有了1元的利息后再产生新的利息——新钱不需要老钱来生成。

根据我们之前的方程式，利息的增长看起来应该是这样的：

但是再一次的，这也不是很准确：所有的利息都是直到最后一天才出现的。让我们把它放大，然后把一年分为两半。我们每年都赚到100%的利息，也可以说我们每六个月赚到50%的利息。那么，我们前半年赚5毛，后半年又赚5毛：

但是这样还是不准确！是的我们原来的一元（蓝色先生）经过一年后又赚了一元。但是半年后我们又有了五毛，准备好了，我们忽略了一部分！那就是那个五毛也可以产生自己的利润：

因为我们的增长率是每半年增长50%，那么那个五毛可以赚到0.25元（5毛乘以50%）。一年之后我们就有：

我们最开始的一元钱（蓝色先生）

最开始的一元钱赚到的钱（绿色先生）

还有绿色先生赚到的0.25元（红色先生）

总共有2.25元。我们从我们最开始的钱中赚到了1.25元，比翻倍还要多！

用公式表达出来，按照50%计算的两段时间内的增长率是：

增长＝(1+100%/2)2 =2.25

是时候让我们更进一步了。不再是把增长分在两个时期中，其中各50%，让我们把它分成3份，每份33%的增长率。谁说我们只有等到半年后才能开始获得收益？让我们把它们分得更细一些。

用图表把这个表示出来就很有趣了：

把每种颜色当作一部分另一种颜色所生的孩子，1/3的时间内：

刚开始时：我们从蓝色先生开始，我们只有1元钱

第四个月：蓝色先生赚到了1/3的钱，而且它生出了绿色先生，有0.33元。

第八个月：蓝色先生有赚到了0.33元给了绿色先生，绿色先生现在又0.66元，绿色先生这时也赚到了0.11元，这就是红色先生。

第十二个月：情况开始变得更复杂了。蓝色先生又赚了0.33元给了绿色先生，绿色先生现在正好有1元钱。而绿色先生也赚了0.22元，现在红色先生总共有0.33元，而红色先生最开始有0.11元，现在它也赚了0.04元，这就是紫色先生了。

嗖！经过一年后，最后我们有：1+1+0.33+0.04，大概有2.37元。仔细想想这是怎么发生的吧：

每个颜色都产生自己的利润，并把它交给另一种颜色。新的颜色在下一个周期便可以产生自己的利润。

我喜欢把最开始的钱当作始终没有变化。蓝色部分产生钱给绿色先生，每四个月固定产生0.33元给绿色先生。在图表中有个箭头表示蓝色先生是怎样把钱给绿色先生的。

绿色先生把自己产生的钱给了红色先生，而这其中没有蓝色先生的贡献。

随着时间的增加，绿色先生也在增长（而蓝色先生一直保持不变），他给红色先生越来越多的钱。在第四个月到第八个月之间，绿色先生给了红色先生0.11元，而在第八个月到第十二个月之间，绿色先生有.66元，所以它给了红色先生0.22元。把图表展开，绿色先生总共给了红色先生0.33元，而绿色先生则拥有整整一元钱。

明白了吧？刚开始时可能难以理解——我把图表整合在一起时自己甚至也有些迷糊了。但是明白了每部分钱产生自己的钱，然后它们又产生自己的钱，如此周而复始，我便明白了。

分为3个周期后我们就可以得到如下的增长方程式：

增长＝(1+100%/3)3 =2.37037……

我们赚到了1.37元，比之前的1.25元更多！

为什么不取更小的时间间隔呢？如果换为每个月，每天，每小时，甚至是每个毫微妙呢？我们会马上称为亿万富翁吗？

我们的收入会增加，但是会达到一个固定的点。试着把之前的方程式换成其他的值，看看结果：

数字变得更大，但是最终会集中在2.718附近。嘿……等等……这个好像就是e啊！

没错！用专业术语表示就是，e是在足够小的时间间隔内按照100%复合增长的增长率：

这个极限最终将集中在一个点，这个可以进行证明。但是正如你所看到的，我们可以取更小的数字来发现它确实集中在2.718附近。

数字e（2.718……）代表了在一段时间内按照100%进行复合增长所能达到的最大增长率。没错，当初你只是期望从1增长到2而已。但是每一小步，你所创造的收益又会产生自己的收益。当这些结束后，你在一段时间内从1增长到了e（2.718），而不是2.

那么，如果我们从1开始以100%进行复合增长，那么我们将得到1e。如果我们以2开始就得到2e，以11.79开始就得到11.79e。

e就像是最高时速限制（就像光速c），告诉我们在一个连续的复合增长中所能达到的最快速度。

问得好！如果我们每年增长50%而不是100%呢？我们还能适用e吗？

让我们看看。50%的复合增长会是这样：

我们可以怎么做呢？好吧假设50%分为了50份：

没错，这个并不是无限的，但是也够多了。假设我们把通常的100%的增长分为1%大小：

啊哈，有些东西在这里融为一体了。在我们的一般例子中，我们等于是把1%累加了100次，在50%的案例中，我们把1%累积了50次。

这两个数字间有什么区别呢？好吧，只是改变了一半而已：

(1+0.01)50 =(1+0.01)100/2 =((1+0.01)100 )1/2 =e1/2

这就很有趣了。50/100＝0.5，而e的指数正好也是0.5.推广到一般情形：如果我们的增长率换为300%，我们就可以把300%分为1%一份。最后我们就会得到e 3。

即使增长率看起来像加法（+1%），但是我们必须切记它其实是乘法（×1.01）。这就是为什么要使用指数（连续的自乘）以及平方根（e1/2就是说只改变了一半，举例来说就是一半的乘法）

即使我们选择1%，但是我们还可以选择其他更小单位的怎张（0.1%，0.00001%甚至是无穷小！）关键在于无论我们取何值，都只是e有一个新的指数而已。

假设我们300%的增长在两年后是多少呢。我们把每年的增长乘以它自己便得到：

增长＝(e3 )2 =e6

更一般化的表示就是：

增长＝（e增长率）时间＝e增长率·时间

因为神奇的指数，我们避免了处理幂而直接在指数中把增长率与时间相乘就可以了。

这很疯狂！ex可以把它们合并在一起：

x就是我们计算增长的时间：每年增长100%，3年后就是e3

x就是增长率：一年增长300%就是e3

这个不会让它俩发生混淆吗？我们的方程式会失效，世界会毁灭吗？

它们完全可以在一起，当我们写下：

ex

x其实就是增长率与时间的组合：

x＝增长率·时间

让我解释一下。处理复合增长时，每年增长3%，增长十年与一年增长30%的效果一样，不考虑之后的效应。

每年增长3%，增长10年。就是说1%累计了30次。这些变化发生在十年的时间内，每年连续增长3%。

一年增长30%，也是说1%累计了30次。只不过是发生在一年之内，一年就改变了30%。

每个例子其实都是说“1%累计了30次”。你的增长率越大所花费的时间越少，增长率越小，你所花费的时间越长。

但是在两个例子中，最终的增长率都是e0.3＝1.35。我们更倾向于在短时间内获得更大的增长，但是e告诉我们，其实它们都一样。

所以，我们的公式变为：

增长＝ex＝er·t

如果我们在时间t内的增长率是r，那么我们的净增长就是er·t。即使是对负数与分数，这个公式依然成立。

示例让许多事情变得更有趣。小提示：我们通常喜欢使用2x或其他常规的式子，遇到复合增长感到困惑其实很正常（包括我在内）。稍后我们将遇到各种简单的连续复合增长的例子。

这些例子都是指连续的平滑增长，而不是“跳跃性”的增长，比如说按年增长。可以把它们进行转化，但是这不是这里所要讨论的。

假设我有一个300Kg的魔力宝石。它们之所以被称作魔力宝石是因为它们每天都在生长：一个宝石，经过一天之后，会产出一个跟它重量相等的宝石。而新的宝石刚一产出就开始生长，但是我不可能追踪这些细节——我更关注最开始的那个宝石能生出多少宝石。十天之后我有多少呢？

首先这是一个相当需要技巧的例子：我们的每天的增长率是100%，而我们想知道10天之后的复合增长率是多少。每个宝石只知道100%（“每过24小时我要产生一个与自身重量相等的宝石”），而最终复合增长有多少（“那些宝石是你生出来的？呃，是它们自己生出来的”）

e就是那个神奇的变化因子：每天增长100%，那么十天之后就有：300·e1·10＝660万多公斤宝石。

在大多数情况下，我们通常不知道最开始的基本增长率是多少（e100%，距离来说，我们纸知道一天之后1个宝石变为2.718个宝石），但是使用自然对数ln我们可以推出最初的增长率（这个例子中为100%）。

假设我有120元，按照5%的利率计算。我的银行很慷慨，给了最大的复利。10年之后我能赚多少钱呢？

利率是5%，而我很幸运可以连续计算复利。十年之后，我就有120·e0.05·10＝197.85。当然，大部分银行不可能给你这么好的福利。你实际的收入与你想像的连续收入的差别取决于他们有多不喜欢你。

我有10公斤的放射性物质，它们每年都以100%的速度进行连续性衰变（这就是说，每年它们都要10公斤每年的速度进行衰变），3年后我还有多少呢？

0？没有了？再想想。

我们刚开始的速度是每年100%，是的，我们刚开始有10公斤，然后预期一年后它将一点不剩。

但是猜猜这个：几个月后，我们有5公斤。还剩下多少时间呃？从我们以“10公斤每年”开始后还有半年。

不是！我们现在有5公斤，我们现在的速度是5公斤每年，所以我们从现在开始还有整整一年呢！

再过几个月等到它衰变到2公斤后。看看会发生什么呢？我们的衰变速率变为2公斤每年，所以我们接下来又有整整一年。剩下1公斤时，我们又有一年，剩下0.5公斤时我们又有一年——看到其中的规律了吗？

随着时间的流逝，我们的物质发生衰变，但是衰变的速率也在减少。这个持续变慢的衰变过程就是持续复合增长的方面。

3年后，我们还有10·e-1·3＝0.498公斤。正如我们所看到的我们在衰变中使用了一个负指数：

负增长率（减少）。负指数就等于给了一个分数（1/er·t）来减少

负时间。一个负指数就像是让时间倒流；不再是看10如何增长到0.498，而是看10如何变回0.498

负指数就是另一种改变：不再是增长而是减少。

如果你想看些更惊艳的例子，试试Black-Scholes期权定价公式（注意e在其中作为一个价值指数减少）或是放射性衰变吧。我们的目标就是看er·t在公式中的作用，以及理解为什么会有它：它就是增长的或减少的模型。

你现在明白为什么是e而不是π或其他数字：e中有“r·t”，它告诉你增长率与时间是如何产生影响的。

我的目标就是：

解释e为什么很重要：这是一个基本常数，就像π一样，它告诉我们关于增长的东西。

给出一个直观化的解释：e让你看到各种不同增长率所产生的影响。即使是新的部分（绿色先生，红色先生等等）也可以在总增长中做出自己的贡献。

展示它是如何应用的：ert让我们可以预测各种增长率在不同时间段内的增长。

让你产生继续学习的兴趣：在接下来的章节中我会向你们展示更多关于e的性质

这只是一个开始——在一个章节中填充太多东西会让你我都感到很累。除去身上的灰尘，休息以下，准备学习e的邪***双胞胎，自然对数吧。

数学中的幂是什么意思

幂就是多少次方

写给普娃的高中数学代数部分简析（四）——指数函数与对数函数（必修一中较难的内容）

这种用有理数指数幂***近无理数指数幂的思想，让学生通过经历从"过剩近似值"和"不足近似值"两个方向，用有理数指数幂***近无理数指数幂的过程;然后在数轴上表示这些"过剩近似值"和"不足近似值"的对应点，发现这些点***近一个确定的点，其对应的数就是这个无理数指数幂。

其实是一种极限思想，虽然在实际解题中未必用得上，但是对于极限思想的体会却是挺重要的。

当然具体到题目的话，本节的重点是在根式与分数指数幂转换及运算上。

稍复杂一些，则是将之与多项式运算结合在一起。

整体难度不大。

4.2 指数函数

函数是高中数学内容的一条主线.如何研究具体的函数类型，前面一章给出了基本思路，即按"背景、概念、图象和性质应用"的顺序进行研究。

指数函数、对数函数也不例外。

本节在将整数指数幂扩展到实数指数幂后，按"背景、概念、图象和性质"介绍指数函数。

对于指数函数的概念，教科书是按照概念形成的一般过程进行的。

首先从景区游客人次增长、碳14衰减等具体背景出发，通过运算发现其中的指数增长和指数衰减的变化规律，然后归纳其共性得到指数函数的一般表达式。

对于指数函数性质的研究，教科书都是按照利用函数图象研究函数性质的"三步曲"进行∶

先作出具体函数的图象；

然后通过观察，比较不同函数的图象；

最后归纳它们的共同特征，并用数学语言加以表达。

显然我们会发现，指数函数的图像特征和单调性，是考察的重点和难点。

事实上，在课本的例题中也的确是围绕此点来组织例题：

这只是课本中的例题，在实际的考试命题中，会在此基础上有进一步的深入拓展。

4.3 对数

与课本中先指数后对数不同，在数学发展历史上，先有对数然后才有指数。

现在的顺序，是因为先学习指数幂，再学习对数，在指数幂概念及运算的基础上，引入对数的概念及其运算，比较符合学生的认知规律，也比较自然。

这一系列知识的关系是这样的，指数运算是指数函数的基础，也是对数运算概念、定义、性质的基础，而对数概念及运算则是对数函数的基础。

教科书是从对数是指数幂中指数的一种等价表示形式的角度来引入对数的。

这样做便于学生借助指数理解对数的概念——即把对数看成是研究指数关系的另一角度或方向。

也是基于这种方式，我们理解对数运算的性质也是从指数运算入手。

换底公式则是指数和对数结合在一起推导出来的。

相较于指数运算，对数运算及其性质在考试中考察的多，也容易错，主要因为这是一种新运算，学生乍一接触，有时候还没有熟悉运算，就往后讲了。

从教材重难点上看，对数运算的确没有之后的对数函数重要，但问题在于，学生在解决问题时，经常要使用对数运算。

所以对此，要加以重视。

在教材中，是循序渐进的进行练习——指对数转换，对数性质，换底公式。

学生在学到此处时，也可以按照这个顺序进行一定量的拓展练习。

4.4 对数函数

对数函数的学习过程与指数函数非常接近。

为了让学生在认识对数函数时也能感受到对数函数的实际背景，并建立与指数函数的联系，本节一开始就从另一个角度继续研究碳14衰减的问题，让学生进一步感受其中的函数模型.

与指数函数类似，本节的内容构架也是"背景、概念、图象和性质"。

当然，在此还引入了反函数的概念，因为指数函数与对数函数互为反函数。

通过反函数，可以对对数函数的图像和性质有一个更深刻的认识，在此可以让学生对指对数函数的图像与性质进行比对，总结其中的规律。

对数函数的重要性相较于指数函数来说，更高一些，在命题频率、难度上都可以说是函数问题中最常用的素材。

在定义域、导数、单调性、图像变换中，都有它的身影。

4.5 函数的应用（二）

本节的重点和难点在于函数零点与方程解的关系，函数零点存在定理的应用，用二分法求方程近似解的思路与步骤，用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程。

这一节的学习方法最好是数形结合，以形助数。

在学习的过程中利用图像来理解，在思考问题的时候使用图像来辅助。

在实际的考试中，二分法不算是重点，前者函数零点才是比较重要的知识点。

其中函数零点——方程的根——函数图像交点这种转换思路，是比较重要的一种思路。

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数学里的指数是什么意思，举个例子说明一下

指数是有理数乘方的一种运算形式，它表示的是几个相同因数相乘的关系如：2的3次方=2*2*2=82的3次方这里2是底数，3是指数，8是幂，是结果。

指数是什么意思

所有股票按照市值进行的加权平均值

数学里的指数是什么?是次数吗?

单项式中所有字母指数的和叫做次数多项式中次数最高项的次数是这个多项式的次数所以指数不是次数。做题一定要小心哟。望采纳

数学里的指数是什么意思，举个例子说明一下？

常用的数学里的指数是指数量、结构、变化的意思。

数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门科学。数学分类为纯粹数学和应用数学。 纯粹数学也叫基础数学，专门研究数学本身的内部规律。纯粹数学的一个显著特点，就是暂时撇开具体内容，以纯粹形式研究事物的数量关系和空间形式。例如梯形面积公式只计算梯形，而不管他是种水稻的梯形还是种高粱的梯形。